Стаття «Чому потрібно вміти розв’язувати задачі на максимум і мінімум?»

Більшість своїх зусиль людина витрачає на пошук найкращого або, як часто кажуть, оптимального розв’язання поставленого завдання. Маючи у своєму розпорядженні певні ресурси, людина прагне досягти найбільш високого життєвого рівня, найвищої продуктивності праці, найменших затрат, максимального приб утку, мінімальних затрат часу. Так виникають питання, над якими замислюється кожен член суспільства. Не всі ці завдання підлягають точному математичному опису, не для всіх із них знайдено короткі шляхи розв’язання. Але частину таких завдань можна дослідити за допомогою математичного аналізу – це задачі, які зводяться до знаходження найбільшого чи найменшого значення.

В житті постійно доводиться стикатися з необхідністю прийняти найкраще можливе рішення. Величезна кількість подібних проблем виникає в економіці і техніці. Довгий час кожне завдання вирішувалось індивідуально. В математиці дослідження завдань на максимум і мінімум розпочалось дуже давно – двадцять п’ять століть тому. Довгий час до задач на знаходження екстремумів не було скільки-небудь єдиних підходів. Але близько трьохсот років тому в епоху формування математичного аналізу були створені перші загальні методи розв’язування і дослідження задач на екстремум.

Задачі на максимум і мінімум протягом всієї історії математики відігравали важливу роль в розвитку науки. За весь цей час накопичилась велика кількість красивих, важливих, яскравих і цікавих задач в геометрії, алгебрі, фізиці тощо. В розв’язанні цих задач брали участь найвидатніші вчені минулих століть – Евклід, Архімед, Герон, Торрічеллі, Якоб Бернуллі, Ньютон і багато інших.

Розв’язання конкретних задач стимулювало розвиток теорії, і як наслідок були відпрацьовані прийоми, що дозволяють єдиним методом розв’язувати задачі найрізноманітнішого походження.

Про максимум і мінімум ми дізнаємося в школі. Ось одна старовинна задача, яку розв’язуємо на уроках геометрії.

Дано дві точки А і В на одній стороні від прямої L. Потрібно знайти на L таку точку D, щоб сума відстаней від А до В і від В до D була найменшою (задача Герона). Тут потрібно знайти найменше значення, тобто мінімум. Методи розв’язання і дослідження різного роду екстремальних задач складають спеціальні розділи математичного аналізу.

Тут наша мета – обговорити питання: навіщо розв’язувати задачу на максимум і мінімум.

Раніше була записана геометрична задача, коли ж вона з’явилася вперше і навіщо?

Вважають, що автором цієї задачі є відомий математик античності Герон Александрійський. Про нього ми вже знаємо завдяки формулі площі трикутника, яка носить його ім’я. Книга, де знаходиться ця задача, називається "O дзеркало", яка написана в І столітті до н. е. Герон дослідив у своїй книзі закони відображення світла і додає підсумки своїх роздумів до питань, пов’язаних з властивостями дзеркал. У ту пору закони природи намагались осягнути умоглядно, за допомогою логічних міркувань, не експериментуючи. Першим експериментатором в історії науки був Г. Галілей, який жив в ХVІІ столітті. Герон же, пояснюючи закони відображення, шукав для них логічні підстави. Він висловив припущення, що природа діє практичним шляхом. Дослідники історії науки припускають, що природа управляється експериментальними принципами. Ідею Герона розвинув Ферма. Він вивів відомий на той час закон заломлення світла, виходячи з допущення, що траєкторія поширення світла від однієї точки до іншої в неоднорідному середовищі характеризується тим, що уздовж неї витрачається найменший час, починаючи з того моменту, ідея екстремальності проявів природи стає дороговказною зіркою всього природознавства.

Траєкторії світла і радіохвиль, рух маятників і планет, течія рідин і газів і багато інших рухів виділяються з різноманіття всіх можливих тем, які є рішенням деяких задач на максимум чи мінімум. Ця обставина виявляється плідним засобом математичного опису природи. Ось у чому полягає перша причина, що пробудила розв’язувати задачі на максимум і мінімум і розвивати теорію екстремальних задач.

Друга причина криється в нас самих. Людям властиво прагнення до кращого, тому їм завжди хочеться вибрати оптимальну з наявних можливостей, і математика може тут допомогти.

Ось декілька геометричних задач, які можуть мати прикладне значення.

Задача 1

Нехай є три міста А, В і С. Потрібно вказати таке місце D, щоб сумарна довжина прямолінійних ділянок шосе, що сполучають D і С, В і С була мінімально.

Задача 2

Те ж саме, що і в задачі 1, але для чотирьох міст.

Задача 3

Чи зміниться розв’язання попередньої задачі, якщо поставити питання про найменшу довжину шосейної дороги, яка поєднує 4 міста, і при цьому не уточнено, що всі шляхи повинні з’єднуватися в одній точці?

Звичайно, такого роду задачі є лиш моделями реальних, життєвих ситуацій. На практиці йде все набагато складніше: і ділянки залізної дороги не бувають прямолінійними, і шосе не прокладають строго по прямих, і сума "відстаней" у чистому вигляді зрідка буває "критерієм оптимальності". Але, без сумніву, під час будівництва залізних, шосейних або іншого роду доріг, так як і при будівництві газо- і нафтопроводів і при багато чому іншому, зазвичай виникає питання про те, як це здійснити найдоцільніше, скажімо, найбільш дешево.

Такі проблеми постійно виникають у господарській діяльності. Весь час доводиться знаходити або найдешевший, або найшвидший, або найкоротший, або най економніший спосіб досягнення мети.

Наведемо приклад оптимізації економічного характеру. Нехай є бази з деякими продуктами, магазини та автопарк. Як слід диспетчеру автопарку організувати доставку необхідних продуктів у магазин найбільш економічно? При вирішенні схожих питань доводиться звертатися до математики.

Велика кількість задач оптимізації виникає в техніці. Це задачі управління технічними процесами, приборами, системами. Ось приклад. Нехай є візок, яка рухається прямолінійно без тертя горизонтальною рель сою. Візок управляється зовнішньою силою, яку змінювати в заданих рамках. Потрібно зупинити візок в певному положенні в найкоротший час.

Дуже багато задач виникає в хімічній промисловості, в космонавтиці і т ін. Ось і друга причина, яка примушує нас вирішувати завдання оптимізації і розвивати теорію екстремальних задач.

Протягом всієї історії математики задачі на екстремум викликали інтерес і бажання розв’язати їх. Можливо, вся справа в тому, що людині властиво прагнення до досконалості? А можливо, в екстремальних задачах завжди присутнє щось витончене, привабливе? І саме це будить розв’язувати задачі на максимум і мінімум.

Література

1. Коба В. І., Хмура О. О. Позакласна робота з математики в школі. - К.: Радянська школа, 1968, С. 259-263.
2. У світі математики: збірник науково-популярних статей. Випуск 9. - К.: Радянська школа, 1978. – С. 178-188.
3. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М.: Просвещение, 1990.
4. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991. – С. 89
5. Финкельштейн Л. П. Задачи с производной. – К.: Евроиндекс Лтд, 1995. – С. 83, 111.