Стаття «Рівнева диференціація при доведенні стереометричних тверджень»

У статті розглянуто організацію рівневої диференціації на уроках геометрії при доведенні стереометричних тверджень. Рівнева організація навчальної діяльності учнів визначається здійсненням диференційованого підходу, який передбачає вивчення індивідуальних особливостей учнів і виділення на цій осн ові типологічних груп, та сприятливими умовами для навчання і розвитку школярів із різним рівнем навчальних можливостей.

Ключові слова: рівнева диференціація, рівні навчальних досягнень, диференційовані завдання, диференційована допомога учням.

Доведення тверджень і розв’язування задач на доведення – постійний елемент уроків геометрії. Доведення розвиває навики логічного мислення, привчає учнів обґрунтовувати судження, розвиває вміння аналізувати і досліджувати математичну ситуацію, одержувати висновки. Під навчання доведенням розуміється навчання готовим доведенням і навчання самостійному пошуку доведення.

Аналіз готових доведень дозволяє виділити метод, ідею, прийом, характерні риси. Для успішного навчання доводити геометричні твердження важливо, щоб учні засвоїли теоретичні знання (геометричні поняття, їх означення, властивості), вміли виконувати розумові дії (аналіз, синтез, узагальнення, абстрагування та ін.), які лежать в основі вміння доводити. Розв’язування задач на доведення вимагає пошукової діяльності і не підлягає алгоритмізації. Тому при навчанні доведення важливе значення має продумана робота вчителя. Нерівномірність засвоєння знань, умінь та навичок учнями класу вимагає від вчителя такої організації навчального процесу, який би відповідав індивідуальним особливостям кожного школяра і максимально сприяв засвоєнню матеріалу кожним учнем.

Однією з провідних тенденцій в сучасній освіті є рівнева та профільна диференціація навчання. "Під диференціацією розуміють спосіб організації навчального процесу, при якому враховуються індивідуально-топологічні особливості особистості (здібності, інтереси, нахили, особливості інтелектуальної діяльності та ін.)" [2, с. 98]. Ціль диференційованого процесу навчання – забезпечити кожному учневі умови для максммального розвитку його здібностей, нахилів, задоволення пізнавальних потреб і інтересівв процесі засвоєння ними змісту загальної освіти. Дослідженню проблеми диференційованого навчання з математики присвячені роботи Г. П. Бевза, М. І. Бурди, Г. Д. Глейзера, Г. В. Дорофеєва, О. С. Дубинчук, М. І. Жалдака, В. В. Фірсова, З. І. Слєпкань, І. Ф. Шаригіна, В. О. Швеця, М. І. Шкіля та ін. Засвоєння навчального матеріалу і навчальна діяльність учнів з математики неоднорідні і мають різнорівневий характер.

Рівневе оволодіння математичними знаннями передбачає рівневі способи організації доведення геометричних тверджень. "На створення умов для рівневої диференціації повинні бути спрямовані як різнорівневі програми так і діяльність вчителя математики" [1, с. 29]. Диференціація навчання у практичній діяльності вчителя передбачає, що "рівень викладу вчителем програмового матеріалу має бути високим, а рівень вимог до його засвоєння учнями диференційованим" [1, с. 30]. У діючій системі оцінювання виділено чотири рівні навчальних досягнень учнів: початковий, середній, достатній, високий. Задачі на доведення мають бути орієнтовані на учнів з різним рівнем підготовки.

Учні початкового рівня навченості мають суттєві прогалини в знаннях, не завжди досягають обов’язкових результатів навчання. Вони часто не можуть без сторонньої допомоги перейти від відтворення знань до їх застосування. Ці учні не завжди розуміють використання теорем до розв’язування задач, не можуть знайти зв'язок між даними і шуканими величинами. Їм необхідне засвоєння нового матеріалу на однотипних вправах.

Проте ця група є неоднорідною: в ній зустрічається різне співвідношення індивідуальних особливостей учнів. До цієї групи слід віднести школярів, у яких низький рівень навченості поєднується із середнім рівнем інших показників. Вони мають можливість перейти до групи середніх. Для доведення геометричних тверджень важливе значення має вміння оперувати геометричними поняттями. Цього можна досягти за умови глибокого усвідомлення учнями особливостей цього поняття і зв’язків його з іншими. Геометрія оперує поняттями, які учень спостерігає в житті або може намалювати. Тому з метою кращого засвоєння геометричних понять, особливо учнями початкового рівня навченості, необхідно ілюструвати його достатньою кількістю прикладів.

Система вправ повинна сприяти формуванню правильних уявлень про обсяг поняття. Щоб забезпечити усвідомлене засвоєння формулювання теореми, вчитель повинен звернути увагу на роль окремих слів або словосполучень, необхідність запам’ятовувати формулювання теореми. Засвоєнню змісту теореми сприяє виконання вправ на виділення умови та висновку, вправ з цікавою фабулою, практичним змістом. З такими учнями доцільно розв’язувати однокрокові задачі на доведення. Треба надавати перевагу задачам, умова яких задається на готовому малюнку. Слід аргументувати і пояснювати використання необхідної аксіоми чи теореми.

Учні середнього рівня навченості – це учні із середніми навчальними можливостями, які оволодівають навчальним матеріалом на репродуктивному рівні і з деяким зусиллям на частково – пошуковому рівні. Вони можуть застосовувати знання програмового матеріалу до розв’язування стандартних задач, не справляються самостійно з розв’язанням складних нетипових задач. У таких учнів не сформовані евристичні прийоми мислення. Вони можуть відтворювати означення геометричних понять і формулювання теорем, формулювати властивості геометричних понять.

Аналіз понять носить у них поверховий характер, узагальнення не завжди правильні і досить обґрунтовані. Для таких учнів важлива мотивація навчання, використання цікавих завдань, завдань на розвиток інтуїції та уяви. Через систему вправ слід формувати усвідомлене вміння застосовувати геометричне поняття в найпростіших, але досить характерних ситуаціях, виявляти зв’язки нового з уже відомим, вказувати на загальні суттєві ознаки в характеристиці нових і відомих понять, порівнювати геометричні об’єкти за загальними ознаками, знаходити істотні відмінності між ними. Учні даного рівня повинні розуміти суть використовуваного методу при доведенні теорем, самостійно розв’язувати нескладні задачі на доведення.

Щоб перевірити чи свідомо вони засвоїли теорему, слід вимагати від них доведення геометричних теорем на малюнках, які своїм положенням і позначенням відрізняються від наведених у підручнику. В таких учнів не сформовані евристичні прийоми мислення, вони не можуть самостійно звести складну задачу до ланцюжка простих підзадач.

Для учнів початкового і середнього рівнів навченості оптимальним є невисокий темп, особливо на етапі первинного вивчення і закріплення навчального матеріалу. Необхідно виконання системи спеціальних тренувальних вправ для засвоєння головного. Поряд з тим, зміст завдань має сприяти пізнавальній активності учнів, передбачати поступове підвищення складності, носити як репродуктивний так і продуктивний характер.

Учні, які мають достатній рівень навчальних досягнень – це учні з високими навчальними можливостями, але мають дещо занижений пізнавальний інтерес. Матеріал, що вивчається, засвоюють після тренувальної роботи, а для досягнення високого рівня знань їм потрібно більше часу, ніж учням з високим рівнем. Мотив навчання у таких учнів – високі оцінки. Вони мають міцні знання, володіють навиками самостійної роботи, але не завжди старанно закріплюють вивчене, бо їм не властива висока працездатність.

Потрібна корекція їх роботи, періодичний контроль за їх навчальною діяльністю. На цьому рівні учень вміє застосовувати означення геометричних понять та їх властивості для розв’язання завдань у знайомих або змінених ситуаціях, знає залежності між елементами геометричних об’єктів. При вивченні теорем і розв’язуванні задач на доведення важливо формувати в таких учнів уміння знайти ідею, за допомогою якої можна довести дане твердження.

Учні, які мають високий рівень навчальних досягнень – це учні, що мають здібності до математики й високий темп навчання. Їм властивий високий рівень знань, умінь аналізувати, порівнювати. Вони швидко засвоюють матеріал, що вивчається, виділяють основне, закономірне, можуть переносити знання у нові ситуації, досягають високого рівня знань за короткий час, вільно висловлюють власні міркування, використовують набуті знання в нестандартних ситуаціях, узагальнюють методи розв’язування однотипних задач. Такі учні можуть висувати і обґрунтовувати гіпотези в процесі розв’язування задач на доведення, застосовувати набуті знання в нових умовах, мислити згорнутими структурами. Вони швидко знаходять істотні властивості, відношення геометричних об’єктів, зв’язки між даними і шуканими величинами, узагальнюють матеріал, запам’ятовують не окремі факти, а типи задач і методи їх розв’язування, схеми доведень.

На цьому рівні учень може усвідомлювати нові для нього геометричні факти, ідеї, виявляти раціональність у виборі способу доведення тверджень. Для розвитку творчого мислення важливо вчити їх прогнозувати результат і після того шукати шлях розв’язання. Для них доцільно підбирати завдання, які б вимагали додаткових знань з математики, стимулювали б до запитань, були спрямовані на формування вмінь самостійно складати задачі різного змісту.

Рівневе оволодіння знань дозволяє виділити питання, найбільш суттєві для дальшого вивчення матеріалу, допомагає більш цілеспрямовано проводити роботу по досягненню програмних вимог і створювати фундамент математичної підготовки на кожному рівні навченості.

Рівні засвоєння знань передбачають різну здатність школярів до навчання, визначають межі операційних можливостей одержання знань і саме через це є головним критерієм для побудови дидактичної системи завдань. Система повинна включати всі засоби організації пізнавальної діяльності учнів, починаючи з простого запитання чи вправи і закінчуючи пізнавальним завданням найвищого ступеня складності. Це дозволяє планувати позитивні зрушення в розумовій діяльності учнів – від репродукції до навчальної творчості. Система диференційованих навчальних завдань повинна:

• забезпечити просування в засвоєнні математичних знань учням різного рівня навченості;
• будуватися за принципом поступового зростання складності;
• сприяти загальному розвитку учнів;
• відповідати конкретним дидактичним цілям уроку;
• мати завдання чотирьох рівнів, які б відповідали основним програмним вимогам до математичної підготовки учнів.

Знання рівня сформованості у школярів вмінь доводити твердження дозволяє вчителю при підготовці до уроку підібрати систему диференційованих завдань, яка спрямована на осмислення суті геометричних понять та на формування і розвиток прийомів розумових дій, мотивувати учнів до вивчення шляхом добору найбільш цікавих для учнів задач, оголошувати очікувані результати і критерії оцінки роботи учнів.

Закріплення і застосування знань в умовах диференційованого навчання дає вчителю широкі можливості активізувати пізнавальну діяльність учнів. Враховуючи ступінь навченості, школярам слід пропонувати такі види вправ, розв’язання яких передбачало б активні форми мислительної діяльності.

Диференційовані завдання для учнів початкового і середнього рівня навченості на етапі первинного закріплення матеріалу допоможуть виділити головне, встановити зв’язки нововведеного поняття з раніше вивченими; на етапі закріплення і систематизації знань дозволять оволодіти прийомами раціональної розумової діяльності. Диференційовані завдання для учнів достатнього і високого рівня навченості повинні забезпечити творчий підхід до їх розв’язання, розвивати вміння аналізувати, узагальнювати, проводити аналогії.

Важливим завданням вчителя залишається диференційована допомога учням. Учням початкового рівня навченості потрібна допомога в оволодінні умінням застосовувати готові прийоми навчальної діяльності за зразком.

Для цього доцільно запропонувати завдання з вказівкою тих аксіом, теорем, які необхідно використати при доведенні даного твердження. Для учнів, які мають середній рівень навчальних досягнень, допомога вчителя може бути надана вказівкою яку теорему необхідно використати, в якому руслі отримати висновок, як перенести узагальнені прийоми в незнайомі ситуації. Для учнів достатнього рівня навченості можна запропонувати "підказку" у вигляді допоміжних питань і задач. Учням, які мають високий рівень навчальних досягнень, можна підказати головну ідею доводжуваного твердження.

Рівнева диференціація найбільш доцільна при закріпленні, систематизації і узагальненні знань, при організації самостійних робіт, в процесі перевірки і оцінюванні знань.

Розглянемо приклад системи диференційованих завдань з теми "Паралельність площин". Учні повинні:

• мати уявлення про взаємне розміщення площин у просторі;
• знати означення паралельних площин, властивості і ознаки паралельності площин;
• вміти доводити властивості й ознаку паралельності площин та застосувати їх у процесі розв’язування задач.

Мета керування діяльністю школярів під час вивчення даної теми полягає у забезпеченні засвоєння програмового матеріалу кожним учнем на рівні, що відповідає його можливостям, але не менше того, ніж вимагає програма. Всі діти повинні мати повні відомості з даної теми та закріпити матеріал, а дальше оцінювання відбувається диференційовано. Для кожної групи визначаються завдання, що відрізняються ступенем складності, передбачають його зростання, систематичне, послідовне засвоєння знань, форми організації навчальної діяльності (фронтальна, групова, парна, індивідуальна), дози допомоги (максимальна, часткова, мінімальна) під час виконання того чи іншого завдання. Форми роботи і допомоги добираються таким чином, щоб вони створювали умови для позитивної мотивації, формування здатності учнів до самостійного застосування набутих знань.

Початковий рівень.

• Дві прямі одної площини відповідно паралельні двом прямим другої площини. Чи можна стверджувати, що площини паралельні?
• Дві площини паралельні одній і тій самій прямій. Чи можна стверджувати, що площини паралельні?
• Лінії перетину площин α і β площиною γ паралельні. Чи паралельні між собою площини α і β?
• Що можна сказати про взаємне розміщення прямих, які лежать відповідно у двох паралельних площинах?
• Чи завжди через дану пряму можна провести площину, паралельну даній площині?

Середній рівень.

• Дві сторони трапеції лежать в паралельних площинах. Чи можуть ці сторони бути її бічними сторонами?
• Сторони двох квадратів відповідно паралельні. Чи паралельні відповідні діагоналі цих квадратів?
• Дано дві площини, які паралельні двом даним прямим. Чи будуть ці площини паралельні між собою?
• Яке взаємне розміщення двох площин, якщо третя площина перетинає їх по прямих: а) які мають спільну точку; б) не мають спільних точок.
• Дві площини α і β паралельні. В площині α проведена пряма а, а в площині β пряма b. Які можливі випадки взаємного розміщення прямих a і b?

Достатній рівень.

• Якщо площини α і β паралельні, то кожна пряма площини α паралельна площині β. Довести.
• Доведіть, що якщо площина перетинає одну з паралельних площин, то вона перетинає і другу площину.
• В кубі ABCDА1B1C1D1 проведені перерізи через вершини A, D1, C і A1, B, C1. Довести, що площини цих перерізів паралельні.
• Через точку одної з двох паралельних площин проведена пряма, яка паралельна другій площині. Довести, що пряма лежить в тій площині, з якою вона має спільну точку.
• Яким може бути взаємне розміщення двох прямих, якщо ці прямі перетинають дві паралельні площини і їх відрізки, які містяться між площинами, не рівні?

Високий рівень.

• Довести, що через точку А, яка не лежить в площині α, проходить площина, паралельна площині α, і притому тільки одна.
• Дано прямі a і b, які перетинаються, і точка А, яка не лежить в площині цих прямих. Довести, що через точку А проходить площина, паралельна прямим a і b, і притому тільки одна.
• Дві площини перетнули двома паралельними прямими. Яке взаємне розміщення площин, якщо відрізки даних прямих, які містяться між цими площинами, не рівні?
• Сторони паралелограмів ABCD і A1B1C1D1 відповідно паралельні. Чи перетинаються в одній точці відрізки AC1, BD1, CA1, DB1?
• Дві площини паралельні. На одній позначено точки А і В, на другій – точки А1 і В1. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відрізків АА1 і ВВ1 (ці точки не збігаються), паралельна даним площинам.

Література

1. Слєпкань З. І. Ще раз про диференціацію навчання математики і роль в ній освітнього стандарту. // Математика в школі. - 2002. №2.
2. Моторіна В. Г. Технології навчання математики в сучасній школі. Харків: 2001. 262с.